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CUADRILATEROS

Por juanrb - 27 de Febrero, 2006, 10:49, Categoría: General

CUADRILATERO

1.- DEFINICIÓN :

Dado cuatro puntos coplanares A , B  , C y D tal tres de ellos no son colineales , se denomina cuadrilátero Ala unión de los segmentos  , los cuales son los lados del cuadrilátero y los puntos A , B , C y D son los vértices , también podemos decir que , Son polígonos que tienen 4 lados pueden ser convexos y no convexos.

 

2.- CLASIFICACION DE LOS CUDRILATEROS  CONVEXO:

Según el paralelismo entre los lados, los cuadriláteros se clasifican en:

A) PARALELOGRAMOS:

Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos y congruentes respectivamente. 

Los paralelogramos  se clasifican en :

Ø    ROMBOIDE :

 Es aquel paralelogramo que   tiene los lados consecutivos diferentes en longitudes y sus ángulos interiores tienen medidas distintas  de 90 o, es decir no es equiángulo ni equilátero. Cuando se habla de un paralelogramo, el alumno piensa inmediatamente en las características de un romboide, es decir en un paralelogramo propiamente  dicho 

 

Ø                  ROMBO :

Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes, es equilátero pero no equiángulo A este cuadrilátero, se le llama también Losange

 

 

Ø    RECTÁNGULO :

En la figura ABCD es un rectángulo

 D

 C

 A

 B

 B

 A

 C

 D

Es un paralelogramo cuyos cuatros ángulo son rectos, es decir es equiángulo, pero no equilátero. A  este cuadrilátero, se le llama también Cuadrilongo.

 

Ø             CUADRADO :           

 C

 D

 B

 A

 o

 45o

 45o

Es un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes. Es equilátero y equiángulo  es decir un cuadrilátero regular.

 

B) TRAPECIOS :

Es aquel cuadrilatero convexo que soló tiene un par de lados opuesto paralelos . A estos se le llaman bases del trapecio .

Los trapecios  se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados no paralelos , estos son

Ø      TRAPECIO ESCALENO :

 o

 //

A

B

C

D

Si BC // AD y AB  CD

 ABCD es un trapecio

Escaleno

Es aquel trapecio cuyos lados no paralelos tienen diferentes longitudes 

Ø         TRAPECIO ISÓSCELES :

Si BC // AD y AB = CD

 ABCD es un trapecio

Isósceles 

 O

   O

A

D

C

B

Es aquel que tiene los lados no paralelo congruentes:

 

 

Ø         TRAPECIO RECTÁNGULO :

Si AB    BC  y  BA   AD

 ABCD es un trapecio

Rectángulo,  recto en A y B 

A

B

C

D

        Si uno de los lados no paralelos  es perpendicular a las bases

C) TRAPEZOIDE:

Es aquel cuadrilátero convexo que no presenta  lados opuestos paralelos.

Un trapezoide pude ser simétrico y trapezoide asimétrico

1) Trapezoide Simétrico:  

 /

/

//

//

EJE DE SIMETRÍA

Donde una de las diagonales es parte de la mediatriz de la otra diagonal. A este trapezoide simétrico se le llama  también trapezoide bisóceles.

2) Trapezoide Asimétrico:   No cumple las condiciones del trapezoide simétrico. A este trapezoide asimétrico se le llama también Trapezoide escaleno.

PROPIEDADES:

1.      En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales

2.      Las diagonales se intersectan en su punto medio

3.      Las diagonales de un rectángulo son la misma longitud y se cortan en su punto medio.

4.      Las diagonales de un cuadrado son la misma longitud y se cortan en su punto medio formando un ángulo de 90o

5.      Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se cortan en un punto medio y son de diferentes longitudes.

3.- TEOREMAS PRINCIPALES DE LOS CUADRILATEROS:

TEOREMA I : En todo trapecio la mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de dichas bases

m =

 

m

b

B

D

C

A

B

N

M

 

TEOREMA II : En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralelo a sus bases y sus longitud es igual a la semidiferencia de las longitudes de dichas bases

 

 

 

 

 

·       PROPIEDADES ADIONALES EN EL TRAPECIO:

PROPIEDAD I: En el trapecio mostrado si

x

a

b

   +  = 90o

 

                                                        

 

 

 

Se Cumple 

 

x

b

a

2m

m

2n

n

PROPIEDAD II : En el trapecio mostrado:

 

                                                      Se cumple

 

 

 

Perímetro ( MNPQ ) = AC + BD

//

//

A

Q

N

M

D

C

B

P

TEOREMA III: En todo trapezoide asimétrico, si se unen los puntos medios de sus lados se forman un paralelogramo, cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales  del trapezoide.

 

 

 

 

 

 

x =

a

   A

   B

   C

   D

  

   x

a

b

b

TEOREMA IV: La medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos consecutivos de un trapezoide es igual a la semisuma de las medidas de los otros dos ángulos.

 

 

 

 

 x  =            

A

D

 C

B

a

   b

x

a

b

TEOREMA V :  La medida del menor ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos opuestos en un trapezoide es igual a la semidiferencia de los otros dos ángulos.

 

 

 

 

 

                                                                      

¡ APRENDIENDO A RESOLVER ……

………………..    RESOLVIENDO !

 

GEOMETRIA PLANA

Por jbrb - 6 de Diciembre, 2005, 11:53, Categoría: General

GEOMETRIA PLANA

Conceptos Fundamentales E Importancia Del Estudio De La Geometría y que nos permita comprender los diferente temas de la geometria plana par el mejor compresion de la enseñnaza - aprendizaje en el nivel pe- universitario

·         PROPOSICION:

Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los términos verdadero o falso.

Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

·         AXIOMAS

Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento.

·         POSTULADOS

Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría

·         TEOREMA

Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados.

Un teorema consta de: hipótesis y tesis:

Hipótesis: son las condiciones o datos del problema

Tesis: es la propiedad a demostrarse.

·         COROLARIO

Es la consecuencia de un teorema demostrado.

Razonamiento Logico

Cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico.

·         DEMOSTRACIONES

Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados.

Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostración también es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposición que se demuestra.

Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos.

Metodos De Demostraciones

Metodo Inductivo

Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general.

Metodo Deductivo

Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener mediante ellos una verdad particular.

La mayoría de los problemas geométricos se demuestran usando el método deductivo.

Procedimiento De Una Demostracion

La demostración formal de un teorema consiste en cinco partes

  1. El enunciado del teorema.

  2. Hacer un gráfico que ilustre el teorema.

  3. Una afirmación de lo que es el dato (s) en términos del gráfico ( hipótesis ).

  4. Una afirmación de lo que debe probarse ( tesis ).

  5. Demostración: Es una serie de razonamientos lógicos establecidos mediante definición, axiomas y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad. Toda demostración debe constar de afirmaciones y razones.

Importancia

¿Por qué estudiar geometría? El alumno que empieza a estudiar geometría, puede preguntar con toda razón : ¿Que es la geometría? ¿Que gano con estudiarla?.

Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un criterio al escuchar leer y pensar. Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseñe a pensar en forma clara y critica, antes de hacer conclusiones.

Otro es el adiestramiento en el uso exacto de idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar diferenciar sus partes cruciales y aplicar la perseverancia, originalidad y razonamiento lógico para resolver el problema.

Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización.

OBJETIVOS

COGNITIVO:

1.- Comprender los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometría axiomática.

2.- Conocer y desarrollar capacidades de deducción y lograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos.

PROCEDIMENTAL:

1.- Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y problemas de aplicación.

2.- Correlacionar, y organizar los diferentes subtemas de estudio y su verdadera utilización.

ACTITUDINALES:

1.- Desarrollar, confianza en sus habilidades matemáticas y lógicas puestas al servicio de las distintas demostraciones.

2.- Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en sus avances y logros a nivel del conocimiento de la geometría plana.

CONCEPTO BASICOS

PUNTO:

Elemento geométrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo las palabras posición y dimensión no se definen, por lo tanto la palabra punto no se define.

RECTA:

Es una figura geométrica, en la cual un punto que se encuentra entre otros dos tiene la misma distancia a estos; se prolonga indefinidamente en ambas direcciones.

PUNTOS COLINEALES:

Son los puntos, elementos de una misma recta.

PLANO

Un plano esta determinado por:

  1. Tres puntos no colineales.

  2. Una recta y un punto externo.

  3. Dos rectas que se intersecan.

  4. Dos rectas paralelas.